题目内容

【题目】如图1,在ABC中,A=120°,AB=AC,点P、Q同时从点B出发,以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动,连接PQ.当点P到达点C时,点P、Q同时停止运动.设BQ=x,BPQ与ABC重叠部分的面积为S.如图2是S关于x的函数图象(其中0x8,8xm,mx16时,函数的解析式不同).

(1)填空:m的值为

(2)求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(3)请直接写出PCQ为等腰三角形时x的值.

【答案】(1);(2)当0m8时,s =x16,s=+4xx16时,s=;(3)+4或8+

【解析】

试题分析:(1)根据题意求出BC的长即可.

(2)分三种情形0m8,x16,x16,分别求出APQ面积即可.

(3)分三种情形讨论当点P在AB上,点Q在BC上,PQC不可能为等腰三角形.当点P在AC上,点Q在BC上,根据PQ=QC列出方程即可.当点P在AC上,点Q在BC的延长线,根据CP=CQ列出方程即可.

试题解析:(1)如图1中,作AMBC,PNBC,垂足分别为M,N.

由题意AB=AC=8,A=120°,

∴∠BAM=CAM=60°,B=C=30°,

AM=AB=4,BM=CM=

BC=

m=BC=

故答案为

(2)当0m8时,如图1中,

在RTPBN中,∵∠PNB=90°,B=30°,PB=x,

PN=x.

s=BQPN=xx=

x16,如图2中,

在RTPBN中,span>∵PC=16﹣x,PNC=90°,C=30°,

PN=PC=8﹣x,

s=BQPN=x(8﹣x)=+4x.

x16时,

s=×(8﹣x)=

综上,当0m8时,s =x16,s=+4xx16时,s=.

(3)当点P在AB上,点Q在BC上时,PQC不可能是等腰三角形.

当点P在AC上,点Q在BC上时,PQ=QC,

PC=QC,

16﹣x=﹣x),

x=+4.

当点P在AC上,点Q在BC的延长线时,PC=CQ,

即16﹣x=x﹣

x=8+

∴△PCQ为等腰三角形时x的值为+4或8+

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