题目内容
（2006•宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点（n＜0）．以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB=2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE．过点A的直线y=kx+m交y轴于点F，FB=FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．（1）求k的值；
（2）点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．
【答案】分析：（1）由题意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0，m）据此可求出m，n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值．
（2）思路同（1）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出△AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可．
解答：解：（1）根据题意得到：E（3n，0），G（n，-n）
当x=0时，y=kx+m=m，
∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF2=m2+n2，
∵FB=AF，
∴m2+n2=（-2n-m）2，
化简得：m=-0.75n，
对于y=kx+m，当x=n时，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，
∴
，
解得：a=
，b=-
，c=-0.75n，
∴抛物线为y=
x2-
x-0.75n，
解方程组：
，
得：x1=5n，y1=3n；x2=0，y2=-0.75n，
∴H坐标是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n2；
而矩形AOBC的面积=2n2，
∴△AMH的面积：矩形AOBC的面积=3，不随着点A的位置的改变而改变．
点评：命题立意：考查综合应用一次函数、二次函数的图象性质解决问题的能力．
（2）思路同（1）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出△AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可．
解答：解：（1）根据题意得到：E（3n，0），G（n，-n）
当x=0时，y=kx+m=m，
∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF2=m2+n2，
∵FB=AF，
∴m2+n2=（-2n-m）2，
化简得：m=-0.75n，
对于y=kx+m，当x=n时，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，
∴
，解得：a=
，b=-，c=-0.75n，∴抛物线为y=
x2-x-0.75n，解方程组：
，得：x1=5n，y1=3n；x2=0，y2=-0.75n，
∴H坐标是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n2；
而矩形AOBC的面积=2n2，
∴△AMH的面积：矩形AOBC的面积=3，不随着点A的位置的改变而改变．
点评：命题立意：考查综合应用一次函数、二次函数的图象性质解决问题的能力．
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