Question

某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图1，其中A（10，5），B（130，5），C（135，0）．
（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程=平均速度×时间）；
（3）如图2，直线x=t（0≤t≤135），与图1的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：从图上可以看出v与t是一个分段函数，0～10是一个正比例函数，10～130是不变的常数，130～135是一次函数，设出函数式代入已知点可求解；路程=平均速度×时间，把三段的路程加起来即可；S与t的函数关系式也分成三段来写函数式．

解答：解：（1）设直线OA的解析式是v=kt，
把（10，5）代入得：k=

1

2

，
∴v=

1

2

t（0≤t≤10）；
直线AB的解析式是v=5（10＜t≤130）；
设直线BC的解析式是v=kt+b，
把（130，5）和（135，0）代入得：

5=130k+b 0=135k+b

，
解得：k=-1，b=135，
∴v=-t+135（130＜t≤135）
v=

1 2 t(0≤t≤10) 5(10＜t≤130) -t+135(130＜t≤135)

；

（2）OA段平均速度为2.5m/s，BC段的为2.5m/s，
2.5×10+5×（130-10）+2.5×5=637.5m；

（3）①0≤t≤10，s=

1

2

×

1

2

t×t=

1

4

t²；
②10＜t≤130，s=

1

2

×5×10+5（t-10）=5t-25；
③130≤t≤135，s=

1

2

×5×10+5×120+

(5+135-t)×(t-130)

2

=-

1

2

t²+135t-8475．
∴S与t的函数关系式：
S=

1 4 t2(0≤t≤10) 5t-25(10＜t≤130) - 1 2 t2+135t-8475(130＜t≤135)

．

点评：本题考查通过图象来确定函数式，本题关键是分段函数．