Question

（2005•黑龙江）王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积．

Answer 1

【答案】分析：本题要分等腰三角形的顶角是锐角或钝角三种情况讨论解答．
当顶角为锐角时，利用勾股定理求出AE，添加辅助线可求出△ABC的面积．
当顶角为钝角时，作等腰三角形边上的高，利用比例求出AF即可求解．
当顶角为直角时，连接AD，求出BD=AD=DC，求出BD、BC，即可求解
解答：解：根据题意，有三种情况：
（1）当等腰三角形为锐角三角形时（如图1所示），
∵D为AB中点，
∴AD=DB，
∵AD=DB=20米，DE=15米，
∴AE==25（米），
过C点作CF⊥AB于F，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△AFC，
∴，
∴CF==24（米），
∴S_△ABC=AB•CF=×40×24=480（米²）；

（2）当等腰三角形为钝角三角形时（如图2所示），
过A点作AF⊥BC于F点，
∵AD=BD=20米，DE=15米，
∴BE=25米，
∵∠B=∠B，∠BDE=∠AFB，
∴△BDE∽△BFA，
∴==，
∴BF==32（米），
∴BC=2×32=64（米），AF=24米，
∴S_△ABC=×64×24=768（米²）；

（3）当等腰三角形是等腰直角三角形时，不符合情况．如图：
∵∠BAC=90°，∠B=45°；∠BED=90°，∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，BE=DE，
但∵BE=20米，DE=15米．
所以不符合情况．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，关键是作出等腰三角形的高，并且要分三种情况讨论解答．难度中等，要学会实际问题数学化，通过数学知识解决实际问题，是一种很重要的方法，要熟练掌握．