题目内容
(2012•长宁区二模)如图,在直角坐标平面中,O为原点,A(0,6),B(8,0).点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AO方向运动,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动.
P、Q两动点同时出发,设移动时间为t(t>0)秒.
(1)在点P、Q的运动过程中,若△POQ与△AOB相似,求t的值;
(2)如图(2),当直线PQ与线段AB交于点M,且
=
时,求直线PQ的解析式;
(3)以点O为圆心,OP长为半径画⊙O,以点B为圆心,BQ长为半径画⊙B,讨论⊙O和⊙B的位置关系,并直接写出相应t的取值范围.

P、Q两动点同时出发,设移动时间为t(t>0)秒.
(1)在点P、Q的运动过程中,若△POQ与△AOB相似,求t的值;
(2)如图(2),当直线PQ与线段AB交于点M,且
BM |
MA |
1 |
5 |
(3)以点O为圆心,OP长为半径画⊙O,以点B为圆心,BQ长为半径画⊙B,讨论⊙O和⊙B的位置关系,并直接写出相应t的取值范围.

分析:(1)分别表示出OP,OQ的长度,再分OP与OA,OP与OB是对应边两种情况,根据相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解;
(2)过点M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为N、G,然后平行线分线段成比例定理列式求出MN、MG的长度,从而得到点M的坐标,然后在Rt△MQN中与Rt△PQO中,利用同一个角∠MQN与∠PQO的正切值相等列出方程求解得到t的值,然后求出点P的坐标,再利用待定系数法求直线函数解析式解答;
(3)表示出OP、BQ的长度,然后根据实际意义求出两圆外切与内切时t的值,再写出两圆外离、相交、内含时的t的取值范围即可.
(2)过点M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为N、G,然后平行线分线段成比例定理列式求出MN、MG的长度,从而得到点M的坐标,然后在Rt△MQN中与Rt△PQO中,利用同一个角∠MQN与∠PQO的正切值相等列出方程求解得到t的值,然后求出点P的坐标,再利用待定系数法求直线函数解析式解答;
(3)表示出OP、BQ的长度,然后根据实际意义求出两圆外切与内切时t的值,再写出两圆外离、相交、内含时的t的取值范围即可.
解答:解:(1)根据题意,t秒时,AP=2t,BQ=t,OP=|6-2t|,OQ=8+t.
分两种情况:
①若△POQ∽△AOB,则当OP与OA是对应边时,
=
,即
=
,
所以,8(6-2t)=6(8+t)或8(2t-6)=6(8+t),
整理得,解得t=0(舍去),t=
;
②若△POQ∽△BOA,则当OP与OB是对应边时,
=
,即
=
,
所以,6(6-2t)=8(8+t)或6(2t-6)=8(8+t),
整理得,t=-
(舍去),t=25,
所以,当t=
或25时,△POQ∽△AOB;
(2)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为N、G.
∵PO∥MN,∴
=
,
∵
=
,
∴
=
,
∴
=
,
∵OA=6,∴MN=1,
同理MG=
OB,
∵OB=8,∴MG=
,
∴点M的坐标为(
,1),
∵OQ=8+t,
∴NQ=8+t-
=
+t,
在Rt△MNQ中,tan∠MQN=
=
,
在Rt△OPQ中,tan∠PQO=
=
,
∴
=
,
整理得,6t2-7t=0,
解得t=
,t=0(舍去),
OP=6-2×
=
,
∴点P的坐标为P(0,
).
设PQ直线解析式为y=kx+b,
则
,解得
,
∴PQ直线解析式:y=-
x+
;
(3)|6-2t|+t=8时,6-2t+t=8或2t-6+t=8,
解得t=-2(舍去),t=
,
|6-2t|-t=8时,6-2t-t=8或2t-6-t=8,
解得t=-
(舍去),t=14,
又当t=3时,OP=0,⊙O不存在,
所以,①当0<t<
且t≠3时,两圆外离;
②当t=
时,两圆外切;
③当
<t<14时,两圆相交;
④当t=14时,两圆内切;
⑤当t>14时,两圆内含.(每个结果(1分),共5分)
分两种情况:
①若△POQ∽△AOB,则当OP与OA是对应边时,
OP |
OA |
OQ |
OB |
|6-2t| |
6 |
8+t |
8 |
所以,8(6-2t)=6(8+t)或8(2t-6)=6(8+t),
整理得,解得t=0(舍去),t=
48 |
5 |
②若△POQ∽△BOA,则当OP与OB是对应边时,
OP |
OB |
OQ |
OA |
|6-2t| |
8 |
8+t |
6 |
所以,6(6-2t)=8(8+t)或6(2t-6)=8(8+t),
整理得,t=-
7 |
5 |
所以,当t=
48 |
5 |
(2)过M分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为N、G.
∵PO∥MN,∴
MN |
OA |
MB |
BA |
∵
MB |
MA |
1 |
5 |

MB |
BA |
1 |
6 |
∴
MN |
OA |
1 |
6 |
∵OA=6,∴MN=1,
同理MG=
5 |
6 |
∵OB=8,∴MG=
20 |
3 |
∴点M的坐标为(
20 |
3 |
∵OQ=8+t,
∴NQ=8+t-
20 |
3 |
4 |
3 |
在Rt△MNQ中,tan∠MQN=
MN |
NQ |
1 | ||
|
在Rt△OPQ中,tan∠PQO=
OP |
OQ |
6-2t |
8+t |
∴
1 | ||
|
6-2t |
8+t |
整理得,6t2-7t=0,
解得t=
7 |
6 |
OP=6-2×
7 |
6 |
11 |
3 |
∴点P的坐标为P(0,
11 |
3 |
设PQ直线解析式为y=kx+b,
则
|
|
∴PQ直线解析式:y=-
2 |
5 |
11 |
3 |
(3)|6-2t|+t=8时,6-2t+t=8或2t-6+t=8,
解得t=-2(舍去),t=
14 |
3 |
|6-2t|-t=8时,6-2t-t=8或2t-6-t=8,
解得t=-
2 |
3 |
又当t=3时,OP=0,⊙O不存在,
所以,①当0<t<
14 |
3 |
②当t=
14 |
3 |
③当
14 |
3 |
④当t=14时,两圆内切;
⑤当t>14时,两圆内含.(每个结果(1分),共5分)
点评:本题是对一次函数的综合考查,主要利用了相似三角形对应边成比例,平行线分线段成比例定理,以及圆的位置关系,(3)中要注意先求出外切与内切时的两个临界值.

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