Question

如图，开口向下的抛物线y=ax²-8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的长及

BC

AC

的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式即可求出A、B的坐标，也就得出了OA、OB的长，根据题中给出的相似三角形得出的比例线段可求出OC的长．已知了OA、OB的长即可得出三角形OBC和三角形OCA的面积比，而根据面积比等于相似比的平方即可得出BC与AC的比例关系．
（2）当C是BP中点是，OC就是直角三角形OBP的斜边的中线，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可过C作x轴的垂线通过构建直角三角形求出C点坐标，进而可得出直线BP的解析式，将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．

解答：解：
（1）由题设知a＜0，
且方程ax²-8ax+12a=0有两二根，
两边同时除以a得，x²-8x+12=0
原式可化为（x-2）（x-6）=0
x₁=2，x₂=6
于是OA=2，OB=6
∵△OCA∽△OBC
∴OC²=OA•OB=12即OC=2

3

而

OB

OA

=

OC

OA

=

2 3

2

=

3

，故

BC

AC

=

3

（2）因为C是BP的中点
∴OC=BC从而C点的横坐标为3
又OC=2

3

∴C(3，

3

)
设直线BP的解析式为y=kx+b，
因其过点B（6，0），C(3，

3

)，
则有

0=6k+b 3 =3k+b

∴

k=- 3 3 b=2 3

∴y=-

3

3

x+2

3

又点C(3，

3

)在抛物线上
∴

3

=9a-24a+12a
∴a=-

3

3

∴抛物线解析式为：y=-

3

3

x2+

8 3

3

x-4

3

．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、相似三角形的性质等知识点．