Question

如图在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．
（1）求边BC的长；
（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；
（3）连接PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）作CE⊥AB于E，根据坡度的定义进行求解；
（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即可得到关于t的方程，进行求解；
（3）此题要分两种情况考虑：点Q在BC上，即0≤t≤3

1

3

时；当点Q在CD上，即3

1

3

＜t≤4

2

3

．
根据三角形的面积公式建立函数关系式，再进一步求解．

解答：解：（1）作CE⊥AB于E，则四边形ADCE是矩形．
则CE=AD=6．
又BC的坡度i=CE：BE=3：4，且BE⊥CE，
则CE：BC=3：5，
则BC=10；

（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即PB=CQ．
由（1），得AB=4+8=12，则PB=12-2t．
则12-2t=3t-10，
t=4.4．

（3）当0≤t≤3

1

3

时，则BP=12-2t，QF=

3

5

×3t=

9

5

t，
y=

1

2

×

9

5

t（12-2t）=-

9

5

t²+

54

5

t，
当t=3时，y最大，是16.2；
当3

1

3

＜t≤4

2

3

时，则y=

1

2

×6×（12-2t）=-6t+36，
则t=3

1

3

时，y最大，是16．
综上所述，则当t=3时，y最大，是16.2．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定、解直角三角形的知识、三角形的面积公式．能够借助函数的知识讨论图形的面积最值问题．