题目内容
【题目】如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是长方形,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上且A(10,0),C(0,6),点D在AB边上,将△CBD沿CD翻折,点B恰好落在OA边上点E处.
(1)求点E的坐标;
(2)求折痕CD所在直线的函数表达式;
(3)请你延长直线CD交x轴于点F. ①求△COF的面积;
②在x轴上是否存在点P,使S△OCP= S△COF?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是长方形,
∴BC=OA=10,∠COA=90°,
由折叠的性质知,CE=CB=10,
∵OC=6,
∴在直角△COE中,由勾股定理得OE= =8,
∴E(8,0)
(2)解:设CD所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵C(0,6),
∴b=6,
设BD=DE=x,
∴AD=6﹣x,AE=OA﹣OE=2,
由勾股定理得AD2+AE2=DE2
即(6﹣x)2+22=x2,
解得x= ,
∴AD=6﹣ = ,
∴D(10, ),
代入y=kx+6 得,k=﹣ ,
故CD所在直线的解析式为:y=﹣ x+6
(3)解:①在y=﹣ x+6中,令y=0,则x=18,
∴F(18,0),
∴△COF的面积= ×OF×OC= ×18×6=54;
②在x轴上存在点P,使得S△OCP= S△COF,
设P(x,0),依题意得
×OP×OC= ×54,即 ×|x|×6=18,
解得x=±6,
∴在x轴上存在点P,使得S△OCP= S△COF,点P的坐标为(6,0)或(﹣6,0).
【解析】(1)根据折叠的性质知CE=CB=10.在在直角△COE中,由勾股定理求得OE=8;(2)根据OC=6知C(0,6),由折叠的性质与勾股定理,求得D(10, ),利用待定系数法求CD所在直线的解析式;(3)①根据F(18,0),即可求得△COF的面积;②设P(x,0),依S△OCP= S△CDE得 ×OP×OC= ×54,即 ×|x|×6=18,求得x的值,即可得出点P的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对勾股定理的概念的理解,了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.