题目内容
【题目】【倾听理解】(这是习题讲评课上师生围绕一道习题的对话片断)
如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
师:当BD=1时,同学们能求哪些量呢?
生1:求BC、OD的长.
生2:求、的长.
……
师:正确!老师还想追问的是:去掉“BD=1”,大家能提出怎样的问题呢?
生3:求证:DE的长为定值.
生4:连接AB,求△ABC面积的最大值.
……
师:你们设计的问题真精彩,解法也很好!
【一起参与】
(1)求“生2”的问题:“当BD=1时,求、的长”;
(2)选择“生3”或“生4”提出的一个问题,并给出解答.
【答案】(1)的长为π;(2)的长为π;(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)如图:
连接OC,当BD=1时,由“垂径定理”可得BC=2,从而可证△OBC为等边三角形,得到∠BOC=60°,∠AOC=30°,就可以由弧长公式求两条弧的长了;
(2)①“生3的问题”,如图:
连接AB,在Rt△AOB中,由已知易得,由已知和“垂径定理”可得D、E分别是BC和AC的中点,从而可得DE是△OAB的中位线,由“三角形中位线定理”可得DE=AB=;
②“生4的问题”,如图:
由①可知, ,OC=2,当点C为的中点时,OC⊥AB,此时OF最短为,CF最长为,△ABC面积最大;
试题解析:
(1)连OC,当BD=1时,
∵OD⊥BC
∴BC=2BD=2,∴△OBC是等边三角形.∴∠BOC=60°,∴∠AOC=30°,
∴的长为, 的长为.
(2)生3的问题:连结AB,在Rt△AOB中,AB=,
∴DE=AB=.
生4的问题:∵当点C为
∴ 当点C为中点时,CF最长,由AB=是定值,可知此时,△ABC面积最大,
∵OC⊥AB,
∴OF=AB=,
∴CF=2-,
∴S△ABC最大=.