Question

如下图，在等腰ΔABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。

（1）证明：∠CAE=∠CBF；

（2）证明：AE=BF；

（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记ΔABC和ΔABG的面积分别为S_ΔABC和S_ΔABG，如果存在点P，能使S_ΔABC=S_ΔABG，求∠C的取值范围。

Answer 1

证明：(1) ∵△是等腰△，是底边上的高线，∴，

又∵, ∴△ ≌△，

∴, 即;       

(2) ∵, ，,

∴△ ≌△，∴;         

(3) 由(2)知△是以为底边的等腰△，∴ 等价于，

1）当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立;

2）当∠为锐角时， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此时，∠180°2∠，

只须180°2∠∠，解得 60°∠ 90°.