题目内容

【题目】如图,D是正ABC的外接圆O上弧AB上一点,给出下列结论:①BDC=ADC=60°;②AEBE=CEED;③CA2=CECD;④CD=BD+AD.其中正确的个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】A

【解析】

试题分析:连接AD,根据等边三角形的性质得到BAC=ABC=60°,由圆周角定理得到BDC=BAC=60°ADC=ABC=60°,于是得到BDC=ADC=60°,故①正确;根据圆周角定理得到D=AABD=ACD,推出BDE∽△ACE,根据相似三角形的性质即可得到AEBE=CEED;故②正确;由于ADC=EAC=60°ACE=ACD,得到ACD∽△ACE,根据相似三角形的性质得到CA2=CECD;故③正确;在CD上截取CF=BD,通过ABD≌△ACF,得到AD=AF,推出ADF是等边三角形,得到DF=AD,等量代换即可得到结论.

解:连接AD,∵△ABC是等边三角形,

∴∠BAC=ABC=60°

∴∠BDC=BAC=60°ADC=ABC=60°

∴∠BDC=ADC=60°,故①正确;

∵∠D=A,ABD=ACD

∴△BDE∽△ACE

AEBE=CEED;故②正确;

∵∠ADC=EAC=60°ACE=ACD

∴△ACD∽△ACE

CA2=CECD;故③正确;

在CD上截取CF=BD,

ABDACF中,

∴△ABD≌△ACF

AD=AF

∵∠ADC=60°

∴△ADF是等边三角形,

DF=AD

CD=CF+DF

CD=BD+AD.故④正确.

故选A.

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