题目内容

如图,△ABC是等边三角形,⊙O过点B,C,且与BA,CA的延长线分别交于点D,E,弦DF∥AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.
(1)求证:△BEF是等边三角形;
(2)若BA=4,CG=2,求BF的长.
(1)证明见解析;(2)BF=2.

试题分析:(1)根据三角形ABC是等边三角形,得到∠BCA=∠BAC=60°,再根据圆周角定理的推论得到∠BFE=∠BCA=60°.根据两条平行弦所夹的弧相等证明弧DE=弧CF,从而得到∠EBD=∠CBF,∠EBF=∠ABC=60°,从而证明结论;
(2)结合等边三角形的边相等,尽量能够把已知的线段和未知的线段放到两个相似三角形中,进行求解.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BCA=∠BAC=60°,
∵DF∥AC,
∴∠D=∠BAC=60°,∠BEF=∠D=60°,
又∵∠BFE=∠BCA=60°,
∴△BEF是等边三角形.
(2)解:∵∠ABC=∠EBF=60°,
∴∠FBG=∠ABE,
又∠BFG=∠BAE=120°,
∴△BFG∽△BAE,
 ,
又BG=BC+CG=AB+CG=6,BE=BF,
∴BF2=AB•BG=24,
可得BF=2(舍去负值).
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