Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．

（1）抛物线的对称轴为x=_____（用含m的代数式表示）；

（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；

（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m, （2）y=2x2﹣8x+2．（3）m＜0或m≥2．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴为直线x=﹣，代入数据即可得出结论；

（2）由AB∥x轴，可得出点B的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；

（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m的取值范围．

（1）抛物线的对称轴为x==m．

故答案为：m．

（2）当x=0时，y=mx2﹣2m2x+2=2，

∴点A（0，2）．

∵AB∥x轴，且点B在直线x=4上，

∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，

∴m=2，

∴抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+2．

（3）当m＞0时，如图1．

∵A（0，2），

∴要使0≤xp≤4时，始终满足yp≤2，只需使抛物线y=mx2﹣2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．

∴m≥2；

当m＜0时，如图2，

在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．

综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．