Question

【题目】如图，平行四边形中，点是对角线的中点，点为上一点，连接，且为边的中线，，延长交于点．

（1）若，求的长度；

（2）若，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到AE⊥BM，BE=EM=2，计算出EC，在Rt△ACE中，勾股定理得出AE，在Rt△AEM中，勾股定理即可求出AM；

（2）如图，连接EF，作EH⊥AF于H．根据对角互补得出A，E，C，F四点共圆，进而得到∠EFA＝∠EFG＝45°，根据角平分线的性质得到EH＝EG，证明Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），得到AH＝CG，证明Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），得到FH＝FG，再证明△AON≌△COF（ASA），得到AN＝CF，从而证明AN＋AF＝FC＋AF＝FGCG＋FH＋AH＝2FG即可．

解：（1）∵AB=AM，AE为边的中线，

∴AE⊥BM，BE=EM=2，

∵MC=6，

∴EC=MC+EM=8

在Rt△ACE中，AC=10，CE=8，

∴AE=，

在Rt△AEM中，AE=6，EM=2，

∴AM=，

（2）如图，连接EF，作EH⊥AF于H．

∵∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠AEC＋∠AFC＝180°，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∴∠EFA＝∠EFG＝45°，
∵EH⊥FA，EG⊥FG，
∴EH＝EG，
∵∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴AE＝EC，
∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），
∴AH＝CG，
∵EF＝EF，EH＝EG，
∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），
∴FH＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠OAN＝∠OCF，

∵点是对角线的中点

∴OA＝OC，
∵∠AON＝∠COF，
∴△AON≌△COF（ASA），
∴AN＝CF，
∴AN＋AF＝FC＋AF＝FGCG＋FH＋AH＝2FG．