Question

如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为（-4，0），PC交y轴于点D，O是原点．
（1）求△AOB的面积；
（2）直线AB上存在一点P，使以P、C、O为顶点的三角形面积与△AOB面积相等，求点P的坐标；
（3）线段AB上存在一点P，使△DOC≌△AOB，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用直线方程易求得点A、B的坐标，从而得到线段OA=2，OB=4．所以根据直角三角形的面积公式来求△AOB的面积；
（2）设P（x，-2x+4）．根据点C的坐标易求得线段OC=4．所以由直角三角形的面积公式列出关于x的方程|-x+2|=1，通过解方程可以求得点P的坐标；
（3）根据全等三角形的对应边相等求得线段OD=OA=2，则易求点D的坐标．由点C、D的坐标易求得直线CD的方程，则点P是直线CD与直线AB的交点．

解答：解：（1）如图，∵直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∴S_AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×2×4=4，即△AOB的面积是4；

（2）∵点P是直线AB上的一个动点，
∴设P（x，-2x+4）．
又∵点C的坐标为（-4，0），
∴OC=4，
∴

1

2

OC×|-2x+4|=4，即|-x+2|=1，
解得，x=1或x=3，
∴点P的坐标为：（1，2）或（3，-2）；

（3）∵△DOC≌△AOB，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2）．
故设直线CD的方程为y=kx+2（k≠0）．则0=-4k+2，
解得，k=

1

2

，
∴直线CD的方程为y=

1

2

x+2（k≠0）．
又∵点P是直线CD与直线AB的交点，
∴

y=-2x+4 y= 1 2 x+2

，
解得

x= 4 5 y= 12 5

，
∴点P的坐标是（

4

5

，

12

5

）．

点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度是解题的关键．