题目内容

【题目】如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:①点P在∠A的角平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【答案】D
【解析】解:∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS, ∴P在∠A的平分线上,故①正确;
由①可知,PB=PC,∠B=∠C,PS=PR,
∴△BPR≌△CPS,
∴AS=AR,故②正确;
∵AQ=PQ,
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,
∴PQ∥AR,故③正确;
由③得,△PQC是等边三角形,
∴△PQS≌△PCS,
又由②可知,④△BRP≌△QSP,故④也正确,
∵①②③④都正确,
故选D.
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC,从而判断出①正确,然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ,然后得到∠APQ=∠PAR,然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB,从而判断出②正确,然后证明出△APR与△APS全等,根据全等三角形对应边相等即可得到③正确,④由△BPR≌△CPS,△BRP≌△QSP,即可得到④正确.

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