Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．

（1）证明△PAE∽△CDP；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设AP＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式及y的取值范围；
（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2），y＜2；（3）存在，AP+AQ=3，理由见解析.

试题分析：（1）利用矩形的性质可以得到∠A=∠D，利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP，从而证明两三角形相似；
（2）利用上题证得的三角形相似，列出比例式，进而得到两个变量之间的函数关系；
（3）假设存在符合条件的Q点，由于PE⊥PC，且四边形ABCD是矩形，易证得△APE∽△DCP，可得AP•PD=AE•CD，同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC，则AP•PD=AQ•QD，分别用PD、QD表示出AP、AQ，将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系．
试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△PAE∽△CDP；
（2）（解法一）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.           4分
∵△PAE∽△CDP，∴，                      5分
即，∴.                     6分
（解法二）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.              4分
∵∠A=∠D=90°，∴tan∠AEP=, tan∠DPC=,
∵∠AEP=∠DPC，∴tan∠AEP= tan∠DPC. ∴=,
即，∴.
（解法三）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.
如图1，连结CE, ∵∠A=∠B=∠D="90°,"

∴AE²+AP²=PE²,PD²+CD²=CP²,BE²+BC²=CE²,
又∵∠CPE=90°，∴PE²+CP²=CE²,
∴AE²+AP²+PD²+CD²=BE²+BC²,
即(2-y)²+x²+(3-x)²+2²=y²+3²,整理得：.
∵=，
∴当时，y有最小值，y的最小值为，
又∵点E在AB上运动(显然点E与点A不重合),且AB＝2，
∴＜2
综上所述，的取值范围是≤＜2；
（3）存在，理由如下：
如图2，假设存在这样的点Q，使得QC⊥QE.

由（1）得：△PAE∽△CDP，
∴，
∴，
∵QC⊥QE，∠D＝90^°，
∴∠AQE＋∠DQC＝90^°,∠DQC＋∠DCQ＝90°，
∴∠AQE=∠DCQ.
又∵∠A=∠D=90°，
∴△QAE∽△CDQ，
∴，
∴
∴，
即，
∴，
∴，
∴.
∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.又∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，
故当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3．
考点: 相似三与性质角形的判定；矩形的性质.