Question

已知二次函数y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令y＝0，由解得； 　　令x＝0，解得y＝8a． 　　∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 　　该抛物线对称轴为直线x＝3． 　　∴OA＝2． 　　如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1． 　　由题意得：． 　　∴，∴∠O’AM＝60°． 　　∴，即．∴． 　　(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立． 　　(Ⅰ)如图②，设点P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM． 　　∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上， 　　∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB． 　　又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， 　　∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD． 　　∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． 　　(Ⅱ)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)， 　　∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)． 　　∴FB＝3，，∴3≤PB＜． 　　∵PC≥4，∴PC＞PB． 　　(3)存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形． 　　如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上， 　　∴PA＝PB． 　　∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形． 　　∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)． 　　点P的坐标是(3，t)， 　　∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2． 　　整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28． 　　∵t是一个常数且t＞3，∴Δ＝4t2－28＞0 　　∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根． 　　显然，满足题意． 　　∵当t是一个大于3的常数，存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形．