Question

（2012•本溪）已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，
①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为

45°

；
②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；
（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．

Answer 1

分析：（1）①证明四边形ABNC是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解；
②根据等腰直角三角形的性质可得∠BNP=∠ACB，然后证明△BNP和△ACP相似，根据相似三角形对应边成比例可得

BP

AP

=

PN

PC

，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC，从而得解；
（2）根据等腰三角形的两底角相等求出∠BNP=∠ACB，然后证明△BNP和△ACP相似，根据相似三角形对应边成比例可得

BP

AP

=

PN

PC

，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根据相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°，
∴AP⊥BC，BP=CP（等腰三角形三线合一），
∴AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
又∵∠MBN=90°，BM=BN，
∴AP=PN（等腰三角形三线合一），
∴AP=PN=BP=PC，且AN⊥BC，
∴四边形ABNC是正方形，
∴∠ANC=45°；

②当θ≠45°时，①中的结论不发生变化．
理由如下：∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN，
∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°，
又∵∠BPN=∠APC，
∴△BNP∽△ACP，
∴

BP

AP

=

PN

PC

，
又∵∠APB=∠CPN，
∴△ABP∽△CNP，
∴∠ANC=∠ABC=45°；

（2）∠ANC=90°-

1

2

∠BAC．
理由如下：∵∠BAC=∠MBN≠90°，AB=AC，BM=BN，
∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=

1

2

（180°-∠BAC），
又∵∠BPN=∠APC，
∴△BNP∽△ACP，
∴

BP

AP

=

PN

PC

，
又∵∠APB=∠CPN，
∴△ABP∽△CNP，
∴∠ANC=∠ABC，
在△ABC中，∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

∠BAC．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，以及等腰三角形三线合一的性质，（1）②与（2）中，先根据两角对应相等，两三角形相似求出两边比值相等，再根据两边对应成比例，夹角相等得到另两个相似三角形是解题的关键．