题目内容
如图,已知正方形ABCD的边长是3,点E、F分别在边BC、CD上,且CE=DF=1,AE、BF交于点O.下列结论:①∠BOE=90°,②BO=OF,③tan∠OBA=
,④S△ABO=S四边形OECF,其中正确结论的个数是( )
3 |
2 |
分析:根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2,然后求出∠2+∠3=90°,再求出∠BOE=90°,判断出①正确;利用勾股定理列式求出AE,再利用△ABE的面积列式求出BO,然后求出OF的长度,判断出②错误;求出∠OBA=∠3,然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解,从而判断出③正确;再根据全等三角形的面积相等求出S△ABO=S四边形OECF,判断出④正确.
解答:解:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∵CE=DF=1,
∴BE=CF=3-1=2,
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠3=180°-90°=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠BOE=180°-90°=90°,故①正确;
由勾股定理得,AE=
=
,
S△ABE=
AB•BE=
AE•BO,
即
×3×2=
×
BO,
解得BO=
,
∵△ABE≌△BCF,
∴BF=AE=
,
∴OF=BE-BO=
-
=
,
∴BO≠OF,故②错误;
∵∠2+∠3=90°,∠OBA+∠2=90°,
∴∠OBA=∠3,
∴tan∠OBA=tan∠3=
=
,故③正确;
∵△ABE≌△BCF,
∴S△ABE=S△BCF,
∴S△ABE-S△BOE=S△BCF-S△BOE,
即S△ABO=S四边形OECF,故④正确.
综上所述,正确的结论有①③④共3个.
故选C.
∵CE=DF=1,
∴BE=CF=3-1=2,
在△ABE和△BCF中,
|
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠3=180°-90°=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠BOE=180°-90°=90°,故①正确;
由勾股定理得,AE=
32+22 |
13 |
S△ABE=
1 |
2 |
1 |
2 |
即
1 |
2 |
1 |
2 |
13 |
解得BO=
6
| ||
13 |
∵△ABE≌△BCF,
∴BF=AE=
13 |
∴OF=BE-BO=
13 |
6
| ||
13 |
7
| ||
13 |
∴BO≠OF,故②错误;
∵∠2+∠3=90°,∠OBA+∠2=90°,
∴∠OBA=∠3,
∴tan∠OBA=tan∠3=
AB |
BE |
3 |
2 |
∵△ABE≌△BCF,
∴S△ABE=S△BCF,
∴S△ABE-S△BOE=S△BCF-S△BOE,
即S△ABO=S四边形OECF,故④正确.
综上所述,正确的结论有①③④共3个.
故选C.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,锐角三角函数,熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键,用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.
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