题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点B、C都在第一象限内,CA⊥x轴,垂足为点A,反比例函数y1=的图象经过点B;反比例函数y2=的图象经过点C(,m).
(1)求点B的坐标;
(2)△ABC的内切圆⊙M与BC,CA,AB分别相切于D,E,F,求圆心M的坐标.
【答案】(1)点B的坐标为(2,).
(2)点M的坐标为(2﹣1,1).
【解析】
试题分析:(1)先求得点C的坐标,然后根据平行于x轴上点纵坐标相等,可知点B的纵坐标,然后可求得点B的横坐标;
(2)连接MD、ME、MF.由点B和点C的坐标可求得AC、BC的长,依据勾股定理可求得AB的长,然后在△ABC中利用面积法可求得圆M的半径,从而可求得点M的坐标.
试题解析:(1)∵CA⊥x轴,∠ACB=90°,
∴CB∥x轴.
∵将C(,m)代入函数y2=得:n==,
∴点C(,).
∴点B的纵坐标为.
∵将y1=代入得: =,解得;x=2,
∴点B的坐标为(2,).
(2)如图所示:连接ME、MD、MF.
∵⊙M与BC,CA,AB分别相切于D,E,F,
∴ME⊥AC,MD⊥BC,MF⊥AB.
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°.
∴四边形CDME为矩形.
∵MD=ME,
∴四边形CDME为正方形.
∵在Rt△ACB中,AC=,BC=,
∴AB=2.
∵S△ACB=ACBC=(AC+BC+AB)r,
∴⊙M的半径==﹣1.
∴点M的坐标为(2﹣1,1).
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