题目内容

【题目】ABC中,BC>AC,CD平分∠ACB交于ABD,E,F分别是AC,BC边上的两点,EF交于CDH,

(1)如图1,若∠EFC=A,求证:CECD=CHBC;

(2)如图2,若BH平分∠ABC,CE=CF,BF=3,AE=2,求EF的长;

(3)如图3,若CE≠CF,CEF=B,ACB=60°,CH=5,CE=4,求的值.

【答案】(1)见解析;(2)2 ; (3).

【解析】

(1)只要证明△ECH∽△BCD,可得=,即可推出CECD=CHBC;

(2)如图2中,连接AH.只要证明△AEH∽△HFB,可得=,推出FH2=6,推出HE=HF=,即可解决问题.

(3)只要证明△ECF∽△BCA,求出CF即可解决问题.

(1)证明:如图1中,

∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°,A+∠B+∠ACB=180°,

又∵∠EFC=A,ECF=ACB,

∴∠CEF=B,∵∠ECH=DCB,

∴△ECH∽△BCD,

CECD=CHBC.

(2)解:如图2中,连接AH.

BH、CH都是△ABC的角平分线,

AH是△ABC的角平分线,

∴∠BHC=180°﹣ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣BAC)=90°+BAC=90°+∠HAE,

CE=CF,HCE=HCF,

CHEF,HF=HE,

∴∠CHF=90°,

∵∠BHC=BHF+∠CHF=BHF+90°,

∴∠HAE=BHF,

∵∠CFE=CEF,

∴∠AEH=BFH,

∴△AEH∽△HFB,

FH2=6,

HE=HF=

EF=2

(3)解:如图3中,作HMACM,HNBCN.设HF=x,FN=y.

∵∠HCM=HCN=30°,HC=5,

HM=HN=span>,CM=CN=

CE=4

EM=,EH=

SHCF:SHCE=FH:EH=FC:EC,

x: =(y+):4

又∵x2=y2+2

解得y=(舍弃),

CF=

∵∠CEF=B,ECF=ACB,

∴△ECF∽△BCA,

=

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