题目内容
【题目】△ABC中,BC>AC,CD平分∠ACB交于AB于D,E,F分别是AC,BC边上的两点,EF交于CD于H,
(1)如图1,若∠EFC=∠A,求证:CECD=CHBC;
(2)如图2,若BH平分∠ABC,CE=CF,BF=3,AE=2,求EF的长;
(3)如图3,若CE≠CF,∠CEF=∠B,∠ACB=60°,CH=5,CE=4,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)2 ; (3).
【解析】
(1)只要证明△ECH∽△BCD,可得=,即可推出CECD=CHBC;
(2)如图2中,连接AH.只要证明△AEH∽△HFB,可得=,推出FH2=6,推出HE=HF=,即可解决问题.
(3)只要证明△ECF∽△BCA,求出CF即可解决问题.
(1)证明:如图1中,
∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°,∠A+∠B+∠ACB=180°,
又∵∠EFC=∠A,∠ECF=∠ACB,
∴∠CEF=∠B,∵∠ECH=∠DCB,
∴△ECH∽△BCD,
∴,
∴CECD=CHBC.
(2)解:如图2中,连接AH.
∵BH、CH都是△ABC的角平分线,
∴AH是△ABC的角平分线,
∴∠BHC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣∠BAC)=90°+BAC=90°+∠HAE,
∵CE=CF,∠HCE=∠HCF,
∴CH⊥EF,HF=HE,
∴∠CHF=90°,
∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°,
∴∠HAE=∠BHF,
∵∠CFE=∠CEF,
∴∠AEH=∠BFH,
∴△AEH∽△HFB,
∴,
∴FH2=6,
∴HE=HF=,
∴EF=2.
(3)解:如图3中,作HM⊥AC于M,HN⊥BC于N.设HF=x,FN=y.
∵∠HCM=∠HCN=30°,HC=5,
∴HM=HN=span>,CM=CN=,
∵CE=4,
∴EM=,EH=,
∵S△HCF:S△HCE=FH:EH=FC:EC,
∴x: =(y+):4①,
又∵x2=y2+()2,
解得y=或(舍弃),
∴CF=,
∵∠CEF=∠B,∠ECF=∠ACB,
∴△ECF∽△BCA,
∴,
∴=.