Question

（1997•陕西）如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，若⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A．4

  3

  -

  5

  6

  π
• B．4

  3

  -

  11

  6

  π
• C．8

  3

  -

  11

  6

  π
• D．8

  3

  -

  5

  3

  π

Answer 1

分析：首先连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，易求得O₁D的长，利用三角函数的知识求得∠O₂的度数，继而可求得梯形与扇形的面积，则可求得答案．

解答：解：连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，
∴四边形AO₁DB是矩形，
∴O₁A=BD，
∴O₁A=1，O₂B=3，O₁O₂=1+3=4，
∴O₂D=3-1=2，
∴O₁D=

O1O22-O2D2

=2

3

，
∴tan∠O₂=

O1D

O2D

=

3

，
∴∠O₂=60°，
∴∠AO₁O₂=180°-∠O₂=120°，
∴S_梯形ABO2O1=

1

2

（O₁A+O₂B）•O₁D=

1

2

×（1+3）×2

3

=4

3

，S_扇形AO1C=

120

360

×π×1²=

1

3

π，S_扇形BO2C=

60

360

×π×3²=

3

2

π，
∴S_阴影=S_梯形ABO2O1-S_扇形AO1C-S_扇形BO2C=4

3

-

11

6

π．
故选B．

点评：此题考查了相切两圆的性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．