题目内容
【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°，将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数，∠MOB= ．
（2）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数．
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
（4）将图1中的三角尺绕点O以每秒钟15°的转速顺时针旋转一周，当时间t为 秒钟时，ON所在的直线恰好平分∠AOC.(直接写答案)
【答案】（1）30°；（2）150°；（3）30°；（4）8或20秒.
【解析】试题分析：（1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM=∠MON-∠BON求出即可；
（2）求出∠BOC=120°，根据角平分线定义请求出∠COM=∠BOM=60°，代入∠CON=∠MON+∠COM求出即可；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．
（4））分两种情况根据旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解；
试题解析：（1）如图2，∵∠AOC=60°，
∴∠BON=∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，
∴∠BOM=∠MON-∠BON=30°；
（2）∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠BOM=60°，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON+∠COM=90°+60°=150°；
（3）∠AOM-∠NOC=30°，
理由是：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°-∠AOM，
∠AON=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．
（4）直线ON恰好平分锐角∠AOC时，
旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°，
∵每秒顺时针旋转15°，
∴时间为8或20秒.
