题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠ACD=∠B,AD⊥CD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)若AD=1,OA=2,求AC的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)2

【解析】

试题分析:(1)连接OC,由圆周角定理得出∠ACB=90°,由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO,证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°,即可得出结论;

(2)证明△ACB∽△ADC,得出AC2=ADAB,即可得出结果.

试题解析:(1)证明:连接OC,如图所示AB是⊙O直径,∠ACB=90°,OB=OC,∠B=∠BCO,又∠ACD=∠B,∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°,即OC⊥CD,CD是⊙O的切线;

(2)解:AD⊥CD,∠ADC=∠ACB=90°,又∠ACD=∠B,△ACB∽△ADC,AC2=ADAB=1×4=4,AC=2.

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