题目内容
（2006•陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．
【答案】分析：（1）由图形结构可知DE∥CG，容易想到用相似三角形的性质解答；
（2）画出图形，根据P点位置，分三种情况讨论：①点P在AE上，②点P在EF上，③点P在FC上．通过观察，易得①③；利用相似三角形的性质可计算出②．利用正方形面积公式，将面积最值问题转化为一元二次方程最值问题解答．
解答：
解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，
∴
=
，
又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC-FC=60-FC，CG=120-60=60，
∴
=
，
∴FC=40（cm）；（3分）
（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则
①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm2）．（4分）
②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
根据题意，得△GFC∽△GPN．
∴
=
，
∴NG=
x，
∴BN=120-
x．
∴y=x（120-
x）=-
（x-40）2+2400．
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）．（7分）
③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2）．（8分）
综合①②③，
得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm2；（9分）
（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=x（120-
x）=-
x2+120x．
当y=x2时，正方形的面积最大，
∴x2=-
x2+120x．
解之，得x1=0（舍），x2=48（cm）．
∴面积最大的正方形的边长为48cm．（12分）
点评：本题是一道几何应用问题，在解第2题时不要忘了分类讨论求出每一种情况的最大值后再进行比较得出结论，第3小题只需根据题意列出方程就能解决．
（2）画出图形，根据P点位置，分三种情况讨论：①点P在AE上，②点P在EF上，③点P在FC上．通过观察，易得①③；利用相似三角形的性质可计算出②．利用正方形面积公式，将面积最值问题转化为一元二次方程最值问题解答．
解答：
解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，∴
=，又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC-FC=60-FC，CG=120-60=60，
∴
=，∴FC=40（cm）；（3分）
（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则
①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm2）．（4分）
②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
根据题意，得△GFC∽△GPN．
∴
=，∴NG=
x，∴BN=120-
x．∴y=x（120-
x）=-（x-40）2+2400．∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）．（7分）
③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2）．（8分）
综合①②③，
得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm2；（9分）
（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=x（120-
x）=-x2+120x．当y=x2时，正方形的面积最大，
∴x2=-
x2+120x．解之，得x1=0（舍），x2=48（cm）．
∴面积最大的正方形的边长为48cm．（12分）
点评：本题是一道几何应用问题，在解第2题时不要忘了分类讨论求出每一种情况的最大值后再进行比较得出结论，第3小题只需根据题意列出方程就能解决．
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