Question

如图，已知△ABC外接⊙O，AB是⊙O的直径，AC=6cm，BC=8cm，且∠EAC=∠ADC．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得直径AB的长度，继而求得该圆的半径的长度；
（2）欲证AE是⊙O的切线，直需证得AE⊥AB即可．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
又∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm（勾股定理），
∴⊙O的半径=

1

2

AB=5cm；

（2）证明：由（1）知，∠ACB=90°，则∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
∵∠ADC=∠ABC（同弧所对的圆周角相等），∠EAC=∠ADC（已知），
∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°（等量代换），即AB⊥AE；
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆周角定理、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．