Question

（1）探究归纳：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．证明：MN∥EF．

②如图3，点M，N在反比例函数y=

10

x

的图象上，且M（2，m），N是第三象限内反比例函数y=

10

x

的图象上一动点．过点M作ME⊥y轴，过点N作EF⊥x轴，垂足分别为E，F．说明MN∥EF．并求当四边形MEFN的面积为12时点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可
（2）②证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案；②设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），根据三角形的面积公式求出S_△EFM=S_△EFN，求出FN即可．

解答：（1）证明：分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，则∠CGA=∠DHB=90°．
∵CG⊥AB、DH⊥AB，
∴∠CGA=∠DHA=90°，
∴∠CGA+∠DHA=180°，
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH，
∴四边形CGHD为平行四边形，
∴AB∥CD．

（2）①证明：连接MF，NE，
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∵点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S△EFM=

1

2

x1•y1=

1

2

k，S△EFN=

1

2

x2•y2=

1

2

k，
∴S_△EFM=S_△EFN，
由（1）中的结论可知：MN∥EF．

②解：连接FM、EN．
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），
∴S△EFM=

1

2

EM•EO=

1

2

k=5，S△EFN=

1

2

FN•FO=

1

2

k=5，
∴S_△EFM=S_△EFN，
由（1）中的结论可知：MN∥EF．
设MN和x轴的交点为G（如图③），
则四边形EFGM为平行四边形，EM=2．
S_{四边形EFNM}=S_{平行四边形EFGM}+S_△FNG，
12=x₁y₁+

1

2

x₁y₂
=10+

1

2

×2×FN，
当S_{四边形EFNM}=12时，y₂=-FN=-2，代入y=

10

x

得：x₂=-5，
∴点N的坐标为（-5，-2），
答：点N的坐标．是（-5，-2）．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能推出MN∥EF是解此题的关键．