Question

有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．
（1）请直接写出AF的长；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．

Answer 1

解：（1）AF=；

（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：
①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．
在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，
∴KN=NF•tan∠F=2cm．
∴△AFK的面积=×AF×KN=；
②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，
∴KP=KF=2cm．
∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm²．
分析：（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；
（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．
点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．