Question

（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；
（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCM为等边三角形，则△CGM中，∠CMD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CM，即等边△CMP的边长，则P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，可以证得EN=EF，即N与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点N与点F不重合相矛盾，故N不存在．

解答：解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，将点A（0，2）代入，得
a（0-2）²+1=2…1分
解这个方程，得a=

1

4

∴抛物线的表达式为y=

1

4

（x-2）²+1=

1

4

x²-x+2；…2分

（2）将x=2代入y=x，得y=2
∴点C的坐标为（2，2）即CG=2…3分
∵△PCM为等边三角形
∴∠CMP=60°，CM=PM
∵PM⊥x轴，
∴∠CMG=30°
∴CM=4，GM=2

3

．
∴OM=2+2

3

，PM=4…4分
将y=4代入y=

1

4

（x-2）²+1，得4=

1

4

（x-2）²+1
解这个方程，得x₁=2+2

3

=OM，x₂=2-2

3

＜0（不合题意，舍去）．
∴点P的坐标为（2+2

3

，4）…5分

（3）相等…6分
把y=x代入y=

1

4

x²-x+2，得x=

1

4

x²-x+2
解这个方程，得x₁=4+2

2

，x₂=4-2

2

＜2（不合题意，舍去）
∴y=4+2

2

=EF
∴点E的坐标为（4+2

2

，4+2

2

）
∴OE=

EF2+OF2

=4+4

2

又∵OC=

CG2+OG2

=2

2

…8分
∴CE=OE-OC=4+2

2

∴CE=EF…9分

（4）不存在．
假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE
∵∠MCP=60°，
∴∠NCE=60°
又∵CE=EF，
∴CN=EF…11分
又∵点E为直线y=x上的点，
∴∠CEF=45°，
∴点N与点F不重合．
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，
∴原假设错误，满足条件的点N不存在．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．