题目内容
【题目】如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,D是OA延长线上的一点,连接DC,且∠B=∠D=30°,AC=4.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求阴影部分的面积.
【答案】(1)CD为⊙O的切线;(2)π﹣4.
【解析】
试题分析:(1)连结OC,如图,根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=60°,则利用三角形内角和可计算出∠OCD=90°,所以OC⊥CD,然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线;
(2)先判断△AOC为等边三角形,则OA=AC=4,然后根据扇形面积公式和等边三角形的面积公式,利用S阴影部分=S扇形AOC﹣S△OAC进行计算.
解:(1)直线CD为⊙O的切线.理由如下:
连结OC,如图,
则∠AOC=2∠B=60°,
∵∠D=30°,
∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°,
∴OC⊥CD,
∴CD为⊙O的切线;
(2)∵OA=OC,∠AOC=60°,
∴△AOC为等边三角形,
∴OA=AC=4,
∴S阴影部分=S扇形AOC﹣S△OAC
=﹣42
=π﹣4.
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