题目内容
【题目】把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置,点D在BC上,连结BE、AD,AD的延长线交BE于点F.
(1)如图1,求证:BE=AD,AF⊥BE;
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转(如图2),连结BE、AD,AD分别交BE、BC于点F、G,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【答案】
(1)证明:在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD,∠EBC=∠CAD,
在Rt△ACD中,
∵∠CDA+∠CAD=90°,∠BDF=∠CDA
∴∠BDF+∠DBF=90°,
即:AF⊥BE
(2)成立,理由如下:
在△BCE和△ACD中,
∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD,∠EBC=∠CAD,
在Rt△ACG中,
∵∠CGA+∠CAG=90°,∠BGF=∠CGA.
∴∠BGF+∠GBF=90°,
即:AF⊥BE
【解析】(1)由SAS判定△ECB≌△DCA,根据全等三角形的性质可知:对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC;加上已知条件来求∠AFE=90°即可;(2)成立,利用已知条件可证明△BCE≌△ACD(SAS),由全等三角形的性质以及已知条件证明即可证明BE=AD,AF⊥BE.
【考点精析】利用旋转的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
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