题目内容
已知:如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,以AB为直径作⊙O交AC于点D,交BC于点E,EF⊥AC于F交AB的延长线于G.(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)求AD的长.
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分析:(1)连接OE.欲证明FG是⊙O的切线,只需证明OE⊥FG即可;
(2)由(1)得出OE∥AC,则点E为BC的中点,再由割线定理得出CD的长,即可求出AD.
(2)由(1)得出OE∥AC,则点E为BC的中点,再由割线定理得出CD的长,即可求出AD.
解答:(1)证明:连接OE.
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∵OE=OB(⊙O的半径),
∴∠ABE=∠OEB(等边对等角);
∵AB=AC(已知),
∴∠ABE=∠ACB=∠OEB(等量代换),∠BEG=∠FEC(对顶角相等),
∵EF⊥AC(已知),
∴∠FEC+∠ACB=90°,∠OEB+∠BEG=90°=∠OEG,
∴OE⊥FG,即FG是切线;
(2)解:∵OE⊥FG,EF⊥AC,
∴OE∥AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴点E为BC的中点,
∵BC=6,
∴CE=3,
∵CD•CA=CE•CB,
∴5CD=3×6,
解得CD=
,
∴AD=AC-CD=5-
=
.
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∵OE=OB(⊙O的半径),
∴∠ABE=∠OEB(等边对等角);
∵AB=AC(已知),
∴∠ABE=∠ACB=∠OEB(等量代换),∠BEG=∠FEC(对顶角相等),
∵EF⊥AC(已知),
∴∠FEC+∠ACB=90°,∠OEB+∠BEG=90°=∠OEG,
∴OE⊥FG,即FG是切线;
(2)解:∵OE⊥FG,EF⊥AC,
∴OE∥AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴点E为BC的中点,
∵BC=6,
∴CE=3,
∵CD•CA=CE•CB,
∴5CD=3×6,
解得CD=
18 |
5 |
∴AD=AC-CD=5-
18 |
5 |
7 |
5 |
点评:本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及切割线定理,是基础知识要熟练掌握.
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