Question

数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
 （2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE

=

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．

解答：解：（1）故答案为：=．

（2）过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中

∠DEB=∠ECF ∠DBE=∠EFC DE=CE

，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=．

（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=

1

2

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴

AB

BE

=

BM

BN

，
∴

1

2-1

=

1 2

BN

，
∴BN=

1

2

，
∴CN=1+

1

2

=

3

2

，
∴CD=2CN=3；

②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=

1

2

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴

AB

AE

=

BM

MN

，
∴

1

2

=

1 2

MN

，
∴MN=1，
∴CN=1-

1

2

=

1

2

，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．

点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．