数学课上.李老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后.进行了如下解答:(1)特殊情况.探索结论当点E为AB的中点时.如图1.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论:AE==DB．(2)一般情况.证明结论:如图2.过点E作EF∥BC.交AC于点F．(请你继续完成对以上问题(3)拓展结论.设计新题:在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在直线BC上.且ED=EC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）一般情况，证明结论：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为

1或3

（请直接写出结果）．

分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为两种情况：一是E在AB的延长线上，D在线段CB的延长线上，求出CD=3，二是E在BA的延长线上，D在线段BC的延长线上，求出CD=1，即可得到答案．

解答：解：（1）答案为：=．

（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，
∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF，
∴AE=BD．

（3）①∵AB=1，AE=2，△ABC是等边三角形，B是AE的中点，
∴AB=AC=BC=1，易得，△ACE是Rt△，
∴∠ACE=90°，
∴∠D=∠ECB=30°，∠DBE=∠ABC=60°，即△DEB是直角三角形．
∴BD=2（30°所对的边等于斜边的一半），即CD=1+2=3．
另法：∵EF∥CD
∴∠EFC=∠EBD=180°-60°
∵EC=ED
∴∠D=∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF=60°-∠ECD=60°-∠D
∴△EFC≌△EDB
∴EF=BD
又∵∠A=∠AEF
∴AE=2
∵BC=1
∴CD=3
②∵AE=2，BA=BC=1，
∴BE=3，作EF⊥CD交CD于点F，则在Rt△EFB中，∠BEF=90°-60°=30°，
∴BF=

BE=

×（1+3）=1.5，
∴CF=BF-BC=1.5-1=0.5，
而ED=EC，EF⊥CD，
∴DF=CF（三线合一），
∴CD=2CF=1．
答：CD的长是1或3．

点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．