题目内容
已知抛物线y=x2-（2m-1）x+4m-6．（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C(
| 2m-1 |
| 2 |
 |
| CD |
分析：（1）将抛物线的解析式化为交点式，可求得抛物线与x轴的交点其中一个是定值，不随m的变化而变化；
（2）本题可从两个方面考虑：①AB的距离小于6，可用韦达定理求出一个m的取值范围，
②由于A、B分别在原点两侧，因此根据韦达定理有x1x2＜0，据此可求出另外一个m的取值范围．综合两种情况即可得出所求的m的取值范围；
（3）本题要先画出图形，分抛物线对称轴在y轴左侧和右侧两种情况进行求解．解题思路一致．假设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E，都是通过在直角三角形ACD和MEB（或MEA）中分别表示出OD和ME的长，根据OD=ME来列等量关系求出t的值．
（2）本题可从两个方面考虑：①AB的距离小于6，可用韦达定理求出一个m的取值范围，
②由于A、B分别在原点两侧，因此根据韦达定理有x1x2＜0，据此可求出另外一个m的取值范围．综合两种情况即可得出所求的m的取值范围；
（3）本题要先画出图形，分抛物线对称轴在y轴左侧和右侧两种情况进行求解．解题思路一致．假设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E，都是通过在直角三角形ACD和MEB（或MEA）中分别表示出OD和ME的长，根据OD=ME来列等量关系求出t的值．
解答：解：（1）由题意可知：y=（x-2）（x-2m+3），
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：
（2，0）（2m-3，0），
因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；
（2）令y=0，有：x2-（2m-1）x+4m-6=0，则：
x1+x2=2m-1，x1x2=4m-6；
∵AB＜6
∴x2-x1＜6，
即（x2-x1）2＜36，（x1+x2）2-4x1x2＜36，
即（2m-1）2-4（4m-6）＜36，
解得-
＜x＜
．①
根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，
即4m-6＜0，m＜
．②
综合①②可得-
＜m＜
；
（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．
①当C点在x正半轴时，x=
＞0，
因此
＜m＜
，
∵弧BC=弧CD，
因此BC=CD．
OC=
，CD=BC=OB-OC=2-
=
，EC=
BC=
，
OE=MD=OC+CE=
+
=
．
易知：OD=ME，即OD2=ME2
∴CD2-OC2=CM2-CE2，
（
）2-（
）2=（
）2-（
）2；
解得m=
，符合m的取值范围．
②当C点在x负半轴时，x=
＜0，
因此-
＜m＜
，
同①可求得OC=
，CD=AC=
，CE=
，MD=OE=
．
同理有：CD2-OC2=MC2-CE2
（
）2-（
）2=（
）2-（
）2
化简得：m2=
，
∴m=±
，均不符合m的取值范围，
因此这种情况不成立．
综上所述，存在符合条件的m，且m=
．
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：
（2，0）（2m-3，0），
因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；
（2）令y=0，有：x2-（2m-1）x+4m-6=0，则：
x1+x2=2m-1，x1x2=4m-6；
∵AB＜6
∴x2-x1＜6，
即（x2-x1）2＜36，（x1+x2）2-4x1x2＜36，
即（2m-1）2-4（4m-6）＜36，
解得-
| 1 |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，
即4m-6＜0，m＜
| 3 |
| 2 |
综合①②可得-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．
①当C点在x正半轴时，x=
| 2m-1 |
| 2 |
因此
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵弧BC=弧CD，
因此BC=CD．
OC=
| 2m-1 |
| 2 |
| 2m-1 |
| 2 |
| 5-2m |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5-2m |
| 4 |
OE=MD=OC+CE=
| 2m-1 |
| 2 |
| 5-2m |
| 2 |
| 2m+3 |
| 4 |
易知：OD=ME，即OD2=ME2
∴CD2-OC2=CM2-CE2，
（
| 2m-5 |
| 2 |
| 2m-1 |
| 2 |
| 2m+3 |
| 4 |
| 5-2m |
| 4 |
解得m=
| 7 |
| 6 |
②当C点在x负半轴时，x=
| 2m-1 |
| 2 |
因此-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
同①可求得OC=
| 1-2m |
| 2 |
| 5-2m |
| 2 |
| 5-2m |
| 4 |
| 7-6m |
| 4 |
同理有：CD2-OC2=MC2-CE2
（
| 5-2m |
| 2 |
| 1-2m |
| 2 |
| 7-6m |
| 4 |
| 5-2m |
| 4 |
化简得：m2=
| 9 |
| 4 |
∴m=±
| 3 |
| 2 |
因此这种情况不成立．
综上所述，存在符合条件的m，且m=
| 7 |
| 6 |
点评：本题结合圆和一元二次方程的相关知识考查了二次函数的综合应用，难度较大．
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