题目内容
【题目】对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为 ．
（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：
①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；
②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）40；（2）①B（4，2）或B（0，2）；②﹣12≤m≤4．
【解析】
（1）由两点距离公式可求AB长，由正方形的性质可求解；
（2）①分两种情况，由两点距离公式和正方形性质可求解；
②由题意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性质可求a的取值范围，即可求解．
（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），
∴AB＝
，
由题意可知，AB是正方形对角线的一半，
∴正方形的边长为2
，
∴正方形的面积为40，
∴顶点A、B的“领域”的面积为40；
故答案为40；
（2）①如图，
∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，
∴AB与x轴的所成锐角为45°，
当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），
∴AB＝
，
∵点A、B的“领域”的面积为16，
∴16＝
，
∴a＝2，
∴点B（0，2），
当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）
∴AB'＝
a，
∵点A、B的“领域”的面积为16，
∴16＝，
∴a＝2，
∴点B（4，2），
综上所述：B（4，2）或B（0，2）；
②如图2，过点B作BM⊥AM，
∵∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，
∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，
∴BM＝AM，
设点B（a，﹣3a+2），
∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|
∴AB＝|2﹣a|，
∵点A、B的“领域”的面积不超过16，
∴
≤16
∴0≤a≤4，
∵BM＝AM，
∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|
∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，
∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，
综上所述：﹣12≤m≤4．
