题目内容

观察下列各式
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
…
（1）分解因式：x5-1=______；
（2）根据规律可得（x-1）（xn-1+…+x+1）=______（其中n为正整数）；
（3）计算：（3-1）（350+349+348+…+32+3+1）；
（4）计算：（-2）1999+（-2）1998+（-2）1997+…+（-2）3+（-2）2+（-2）+1．

解：（1）分解因式：x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；

（2）（x-1）（xn-1+…+x+1）=xn-1；

（3）（3-1）（350+349+348+…+32+3+1）=351-1．

（4）∵（-2-1）[（-2）1999+（-2）1998+（-2）1997+…+（-2）3+（-2）2+（-2）+1]，
=（-2）2000-1，
=22000-1，
∴（-2）1999+（-2）1998+（-2）1997+…+（-2）3+（-2）2+（-2）+1=．
分析：（1）根据所给出的具有规律的式子，可知x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1）．
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）根据所给式子的规律，把x换为3即可，（3-1）（350+349+348+…+32+3+1）=351-1．
（4）先计算（-2-1）[（-2）1999+（-2）1998+（-2）1997+…+（-2）3+（-2）2+（-2）+1]=（-2）2000-1，然后再计算所给式子．
点评：本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
练习册系列答案
相关题目
探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
猜想、探索规律
（1）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第100组应该有种子数．
 
粒；
（2）已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
，…，依据上述规律，则a99=
 
；
（3）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，那么第101个图案中由
 
个基础图形组成；
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（4）观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，根据观察计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
．
8、观察下列各式，1×3=22-1；3×5=42-1；5×7=62-1；7×9=82-1；…由此，想到此例包含的规律可以用下式（　　）表示．
24、观察下列各式：2×4=32-1，3×5=42-1，4×6=52-1，…，10×12=112-1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：
n（n+2）=（n+1）2-1
．
14、观察下列各式：
（1）1=12；（2）2+3+4=32；（3）3+4+5+6+7=52；（4）4+5+6+7+8+9+10=72； …
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（　　）

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