Question

如图，PAB为⊙O的割线，P0交⊙O于点C，OP=13，PA=9，AB=7，求⊙O直径的长．

Answer 1

分析：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC．根据四边形ACEB为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出△ACP与△EBP相似，由相似三角形的对应边成比例可以求得该圆的直径．

解答：解：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC．
∵PA=9，AB=7，
∴PB=16．
∵四边形ACEB为圆O的内接四边形，
∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，
∴△ACP∽△EBP，
∴

PC

PB

=

PA

PE

，即

PO-OC

16

=

9

PO+OC

，
∴

13-OC

16

=

9

13+OC

，
解得：OC=5或x=-5 （舍去），
则EC=2OC=10，即⊙O直径的长是10．

点评：此题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出如图所示的辅助线是解本题的关键．