题目内容
【题目】(阅读)如图1,四边形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,∠AOC=∠BCO=90°,经过点O的直线l将四边形分成两部分,直线l与OC所成的角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处,我们把这个操作过程记为FZ [θ,a ]
(理解)若点D与点A重合,则这个操作过程为FZ [45°,3];
(尝试)
(1)若点D恰为AB的中点(如图2),求θ;
(2)经过FZ[45°,a]操作,点B落在点E处,若点E在四边形OABC的边AB上(如图3),求出a的值;若点E落在四边形OABC的外部,直接写出a的取值范围.
【答案】(1)30°;(2)答案见解析.
【解析】
(1)先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD ,故可得出CD= FD ,即点D为Rt△COF斜边CF的中点,由折叠可知,OD= OC,故OD= OC= CD,△OCD为等边三角形,∠COD = 60°,根据等边三角形三线合一的性质可得出结论;
(2)根据点E在四边形OABC的边AB上可知AB⊥直线l,根据由折叠可知,OD=OC=3,DE= BC=2.再由θ= 45°, AB⊥直线l,得出△ADE为等腰直角三角形,故可得出OA的长,由此可得出结论.
(1)连接CD并延长,交0A延长线于点F,在△BCD与△AFD中,,∴ △BCD≌△AFD(ASA)∴CD= FD,即点D为Rt△COF斜边CF的中点,∴OD=CF=CD,又由折叠可知,OD=OC,∴OD=OC=CD,∴△OCD为等边三角形,∠COD=60°,∴θ=∠COD=30°;
(2)∵点E在四边形OABC的边AB上,∴AB⊥直线l,由折叠可知,OD=OC=3,DE=BC=2,∵θ=45°,AB⊥直线l,∴△ADE为等腰直角三角形,∴AD=DE=2,∴OA=OD+AD=3+2=5,∴a=5,由图可知,当0<a<5时,点E落在四边形OABC的外部.