Question

【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于点A,过点A分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点B、C,如果四边形OBAC是正方形.

(1)求一次函数的解析式。

(2)一次函数的图象与y轴交于点D. 在x轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小?若存在，请求出P点坐标及最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x+1；（2）(,0)

【解析】

（1）若四边形OBAC是正方形，那么点A的横纵坐标相等，代入反比例函数即可求得点A的坐标，进而代入一次函数即可求得未知字母k．

（2）在y轴负半轴作OD′=OD，连接AD′，与x轴的交点即为P点的坐标，进而求出P点的坐标．

(1)∵四边形OBAC是正方形，

∴S四边形OBAC=AB =OB=9，

∴点A的坐标为(3,3)，

∵一次函数y=kx+1的图象经过A点，

∴3=3k+1，

解得k=，

∴一次函数的解析式y=x+1，

(2)y轴负半轴作OD′=OD,连接AD′,如图所示,AD′与x轴的交点即为P点的坐标，

∵一次函数的解析式y=x+1，

∴D点的坐标为(0,1)，

∴D′的坐标为(0,1)，

∵A点坐标为(3,3)，

设直线AD′的直线方程为y=mx+b，

即 ，

解得m= ，b=1，

∴直线AD′的直线方程为y=x1，

令y=0,解得x= ，

∴P点坐标为(,0)