Question

两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A₁A_OB₁=α（α＜∠A₁A_OA₂），θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=________，θ₄=________，θ₅=________；
（2）图2中，连接A_oH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A_oH垂直且被它平分的线段？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A_OA₁A₂…A_n-1与正n边形A_OB₁B₂…B_n-1重合（其中A₁与B₁重合），现将正n边形A_OB₁B₂…B_n-1绕顶点A_o逆时针旋转α．
（3）试猜想在正n边形的情况下，是否存在以A₁为端点的线段被直线A_oH垂直且平分？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
（4）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数．

Answer 1

解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图如，图中有直线A₀H垂直平分A₂B₂，证明如下：
方法一：
证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀B₁B₂是全等的等边三角形
∴A₀A₂=A₀B₂
∴∠A₀A₂B₂=∠A₀B₂A₂
又∵∠A₀A₂H=∠A₀B₂H=60°
∴∠HA₂B₂=∠HB₂A₂
∴A₂H=B₂H，∴点H在线段A₂B₂的垂直平分线上
又∵A₀A₂=A₀B₂，
∴点A₀在线段A₂B₂的垂直平分线上
∴直线A₀H垂直平分A₂B₂
方法二：
证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀B₁B₂是全等的等腰三角形
∴A₀A₂=A₀B₂
∴∠A₀A₂B₂=∠A₀B₂A₂
又∵∠A₀A₂H=∠A₀B₂H=45°
∴∠HA₂B₂=∠HB₂A₂
∴A₂H=B₂H，
在△A₀A₂H与△A₀B₂H中
∵A₀A₂=A₀B₂，
HA₂=HB₂，∠A0A₂H=∠A₀B₂H
∴△A₀A₂H≌△A₀B₂H
∴∠A₀A₂H=∠B₂A₂H
∴A₀H是等腰三角形A₀A₂B₁的角平分线
∴直线A₀H垂直平分A₂B₂选图如，图中有直线A₀H垂直平分A₂B₂，
证明如下：
∵A₀B₂=A₀A₂∴∠A₀B₂A₂=∠A₀A₂B₂
又∵∠A₀B₂B₁=∠A₀A₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴点H在线段A₂B₂的垂直平分线上
又∵A₀B₂=A₀A₂，
∴点A₀在线段A₂B₂的垂直平分线上
∴直线A₀H垂直平分A₂B₂

（3）存在．
当n为奇数时，直线A₀H垂直平分 ，
当n为偶数时，直线A₀H垂直平分 ．
（4）当n为奇数时，θ_n=-α；
当n为偶数时，θ_n=α．
分析：（1）由正三角形的性质得α+θ₃=60°，再由正方形的性质得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线A₀H垂直且平分的线段A₂B₂，△A₀A₁A₂≌△A₀B₁B₂，推得A₂H=B₁H，则点H在线段A₂B₂的垂直平分线上；由A₀A₂=A₀B₁，则点A₀在线段A₂B₂的垂直平分线上，从而得出直线A₀H垂直且平分的线段A₂B₂
（3）当n为奇数时，θ_n=-α；
当n为偶数时，θ_n=α
（4）多写几个总结规律：
当n为奇数时，直线A₀H垂直平分 ，
当n为偶数时，直线A₀H垂直平分
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．