题目内容
设抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+
的图象与x轴只有一个交点，则a18+323a-6的值为 ．
| 5 |
| 4 |
考点：抛物线与x轴的交点
专题：
分析：利用函数与一元二次方程的结合点：抛物线与x轴只有一个交点等价于△=0，由此可以求得a2-a-1=0；然后利用韦达定理和完全平方和公式a2+b2=（a+b）2-2ab，接下来用了立方和公式，提公因式，用a12+
来表示所求的代数式．这种各种公式共同应用的题比较常见．
| 1 |
| a12 |
解答：解：∵抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+
的图象与x轴只有一个交点，
∴∴△=（2a+1）2-4×1×（2a+
）=0，即a2-a-1=0，
∵a≠0，
∴a-
=1，
a2+
=（a-
）2+2
=3，
a4+
=（a2+
）2-2
=7，
a8+
=（a4+
）2-2
=47，
a12+
=（a4+
）（a8+
-1）
=7×（47-1）
=322，
a18+323a-6
=（a18+
）+
=a6（a12+
）+
=322a6+
=322（a6+
），
a6+
=（a2+
）（a4+
-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a6+
）=322×18=5796．
即a18+323a-6的值为5796．
故答案是：5796．
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| 4 |
∴∴△=（2a+1）2-4×1×（2a+
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∵a≠0，
∴a-
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| a |
a2+
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| a2 |
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| a |
=3，
a4+
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| a4 |
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| a2 |
=7，
a8+
| 1 |
| a8 |
| 1 |
| a4 |
=47，
a12+
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| a12 |
| 1 |
| a4 |
| 1 |
| a8 |
=7×（47-1）
=322，
a18+323a-6
=（a18+
| 1 |
| a6 |
| 322 |
| a6 |
=a6（a12+
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| a12 |
| 322 |
| a6 |
=322a6+
| 322 |
| a6 |
=322（a6+
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| a6 |
a6+
| 1 |
| a6 |
=（a2+
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| a2 |
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| a4 |
=3×（7-1）
=18．
∴322（a6+
| 1 |
| a6 |
即a18+323a-6的值为5796．
故答案是：5796．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），在计算中要灵活运用完全平方公式和立方和公式，计算较复杂，要注意计算能力的培养．
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