题目内容

阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如
3
5
2
3
2
3
+1
一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
3
5
=
5
5
×
5
=
3
5
5
;(一)
2
3
=
2×3
3×3
=
6
3
(二)
2
3
+1
=
2×(
3
-1)
(
3
+1)(
3
-1)
=
2(
3
-1)
(
3
)
2
-12
=
3
-1
(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
3
+1
还可以用以下方法化简:
2
3
+1
=
3-1
3
+1
=
(
3
)
2
-12
3
+1
=
(
3
+1)(
3
-1)
3
+1
=
3
-1
(四)
(1)请用不同的方法化简
2
5
+
3

①参照(三)式得
2
5
+
3
=(  );
②参照(四)式得
2
5
+
3
=(  )
(2)化简:
1
3
+1
+
1
5
+
3
+
1
7
+
5
+…+
1
2n+1
+
2n-1
分析:(1)中,通过观察,发现:分母有理化的两种方法:1、同乘分母的有理化因式;2、因式分解达到约分的目的;
(2)中,注意找规律:分母的两个被开方数相差是2,分母有理化后,分母都是2,分子可以出现抵消的情况.
解答:解:(1)
2
5
+
3
=
2(
5
-
3
)
(
5
+
3
)(
5
-
3
)
=
2(
5
-
3
)
(
5
)
2
-(
3
)
2
=
5
-
3

2
5
+
3
=
(
5
)
2
-(
3
)
2
5
+
3
=
(
5
+
3
)(
5
-
3
)
5
+
3
=
5
-
3


(2)原式=
3
-1
(
3
+1)(
3
-1)
+
5
-
3
(
5
+
3
)(
5
-
3
)
+
7
-
5
(
7
+
5
)(
7
-
5
)

+…+
2n+1
-
2n-1
(
2n+1
+
2n-1
)(
2n+1
-
2n-1
)

=
3
-1
2
+
5
-
3
2
+
7
-
5
2
+…+
2n+1
-
2n-1
2

=
2n+1
-1
2
点评:学会分母有理化的两种方法.
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