Question

阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如

2

5

，

2 3

，

2

3 +1

一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

2

5

=

2× 5

5 × 5

=

2

5

5

；（一）

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

；（二）

2

3 +1

=

2×( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2-12

=

3

-1　（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

2

3 +1

还可以用以下方法化简：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

( 3 +1)( 3 -1)

3 +1

=

3

-1（四）
（1）请用以下指定的方法化简

2

2009 + 2007

（2）．
参照（三）式化简

2

2009 + 2007

；
参照（四）式化简

2

2009 + 2007

．
（2）化简：

1

3 +1

+

1

5 + 3

+

1

7 + 5

+…+

1

2n+1 + 2n-1

．

Answer 1

分析：（1）根据所给出的例子进行化简即可；
（2）分母有理化，原式变形为

1

2

（

3

-1+

5

-

3

+

7

-

5

+…+

2n+1

-

2n-1

），再化简即可．

解答：解：（1）

2

2009 + 2007

=

2

2009 + 2007

×

2009 - 2007

2009 - 2007

=

2009

-

2007

；

2

2009 + 2007

=

2009-2007

2009 + 2007

=

( 2009 )2-( 2007 )2

2009 - 2007

=

( 2009 + 2007 )( 2009 - 2007 )

2009 - 2007

=

2009

-

2007

；
（2）原式=

3 -1

( 3+1)( 3 -1)

+

5 - 3

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

+…+

2n+1 - 2n-1

( 2n+1 + 2n-1 )( 2n+1 - 2n-1 )

=

1

2

（

3

-1+

5

-

3

+

7

-

5

+…+

2n+1

-

2n-1

）
=

1

2

（

2n+1

-1）．

点评：本题考查了分母有理化，是基础知识，此题的难度不大但比较麻烦．