题目内容
20、已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
分析：（1）先根据题意，列出关于x1，x2的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1；
（2）然后把所求两根代入原方程，判断a、b、c的关系，最后确定三角形的形状．
（2）然后把所求两根代入原方程，判断a、b、c的关系，最后确定三角形的形状．
解答：解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1＞x2），
则x1+x2=-1①，x1-x2=1②，
①+②得2x1=0，解得x1=0，
①-②得：2x2=-2，解得x2=-1；
（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a；
当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0，a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．
即a=b=c，△ABC为等边三角形．
则x1+x2=-1①，x1-x2=1②，
①+②得2x1=0，解得x1=0，
①-②得：2x2=-2，解得x2=-1；
（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a；
当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0，a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．
即a=b=c，△ABC为等边三角形．
点评：本题综合考查了三角形形状的判断与根与系数的关系，解这类题的关键是利用根与系数的关系，用方程根的定义来寻求未知系数的等量关系．
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