题目内容

已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为

A.
$数学公式$ cm²
B.
$数学公式$ cm²
C.
$数学公式$ cm²
D.
$数学公式$ cm²

A
分析：由已知∠ABD=30°，可得∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，根据直角三角形中30度所对的角是斜边的一半可求得BC，AC，的长；进而求出三角形ACB的面积，再求出三角形COB的面积，所以求出三角形AOB的面积，又因为AB∥CD所以△AOB∽△DOC，利用相似的性质：面积之比等于相似比的平方即可求出△COD的面积．
解答：∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，
由SAS可证△DAB≌△CBA，
∴∠CAB=∠DCA=30°，
∵∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴CD=AD=BC=4cm，
∴AC²=AB²-BC²，
∴AC=4 $\text{[math]}$ cm，
∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD=4 $\text{[math]}$ cm，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×4×4 $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ cm，
设DO为x，则CO=x，则AO=BO=（4 $\text{[math]}$ -x）cm，
在Rt△COB中，CO²+BC²=BO²，
即：x²+4²=（4 $\text{[math]}$ -x）²∴D0= $\text{[math]}$ cm，
∴S_△ADO= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ，
∴S_△AOB=S_△ABC-S_△ADO= $\text{[math]}$
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$
∴S_△DOC= $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：此题主要考查等腰梯形的性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形两条对角线相等．