题目内容

文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,文昌到三亚的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间公布票价学生票
上车站下车站一等座二等座二等座
文昌三亚81(元)68(元)51(元)
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座学生票,依题意得:
81(3m+n)=17010
68×3m+51n=11220

解得
m=10
n=180

则2m=20,
答:参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人.

(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,
①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:
学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.
∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),
即y=-13x+13950(180≤x<210),
②当0<x<180时,最经济的购票方案为:
一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(210-x)张,
∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),
即y=-30x+17010(0<x<180),
答:购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式是y=-13x+13950(180≤x<210)或y=-30x+17010(0<x<180).

(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,
∵-13<0,y随x的增大而减小,
∴当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,
当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.
当0<x<180时,y=-30x+17010,
∵-30<0,y随x的增大而减小,
∴当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,
当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.
所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元,
答:按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花11233元,最多要花16980元.
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