题目内容

【题目】如图,已知△ABC中,∠B=90 ,AB=8cm,BC=6cm,PQ是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿AB方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿BCA方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.

(1)出发2秒后,求线段PQ的长?

(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△PQB是等腰三角形?

(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间?

【答案】(1) ; (2)t=83;(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.

【解析】(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;

(2)设出发t秒后,△PQB能形成等腰三角形,则BP=BQ,由BQ=2t,BP=8-t,列式求得t即可;

(3)当点Q在CA上运动上,能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况:

①当CQ=BQ时(图1)则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t;

②当CQ=BC时(图2),则BC+CQ=12,易求得t;

③当BC=BQ时(图3),过B点作BE⊥AC于点E,则求得BE、CE,即可得出t.

解:(1)BQ=2×2=4cm,BP=ABAP=82×1=6cm

∵∠B=90°,

PQ=

(2)BQ=2t,

BP=8t,

2t=8t,

解得:t=83;

(3)①当CQ=BQ时(图1),

则∠C=∠CBQ,

∵∠ABC=90°,

∴∠CBQ+∠ABQ=90°,

∠A+∠C=90°,

∴∠A=∠ABQ,

∴BQ=AQ,

∴CQ=AQ=5,

∴BC+CQ=11,

∴t=11÷2=5.5秒.

②当CQ=BC时(如图2),

则BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒

③当BC=BQ时(如图3),过B点作BE⊥AC于点E,

则BE=

所以CE=BC2BE2

故CQ=2CE=7.2,

所以BC+CQ=13.2,

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,

△BCQ为等腰三角形.

“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质,注意分类讨论思想的应用.

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