题目内容
【题目】【题目】已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣
，﹣
）；（2）
；（3） 2≤t＜
．
【解析】试题分析：（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点
代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a<b，判断a<0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得
的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
试题解析：(1)∵抛物线
有一个公共点M(1,0)，
∴a+a+b=0，即b=2a，
∴抛物线顶点D的坐标为
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0)，
∴0=2×1+m，解得m=2，
∴y=2x2，
则
得
∴(x1)(ax+2a2)=0,
解得x=1或
∴N点坐标为
∵a<b，即a<2a，
∴a<0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为
设△DMN的面积为S，
(3)当a=1时，
抛物线的解析式为：
有
解得：
∴G(1,2)，
∵点G、H关于原点对称，
∴H(1,2)，
设直线GH平移后的解析式为：y=2x+t，
x2x+2=2x+t，
x2x2+t=0，
△=14(t2)=0，
当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0)，
把(1,0)代入y=2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是
【题型】解答题
【结束】
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【题目】摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的
的中点P着地，地面NP与
相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿
滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度．
（1）静止时靠背CD的最高点D离地面多高？
（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰．
（精确到1cm，参考数据π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36， 
=1.41， 
=1.73）
【答案】（1）244cm（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时，才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰
【解析】试题分析：（1）如图，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．求出DH、JP即可解决问题；
（2）如图．当OA⊥PN时，作DH⊥AC于H．求出DH、PA即可解决问题；
试题解析：（1）如图，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．
在
中， 
在
中， 
∴静止时靠背CD的最高点D离地面的高为210.4+34.0≈244（cm）．
（2）如图．当
时，作
于H．
在
中， 
∴静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时，才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
